mikeo_410
  1. 2.地球
    1. 1.地球楕円体上の点
    2. 2.地球儀と楕円体の描画
    3. 3.3Dの直線と平面
    4. 4.卯酉線
    5. 5.楕円の標準形
    6. 6.5点で決まる楕円
    7. 7.曲率半径と平均曲率
    8. A1.地図、地球儀(Rスクリプト、データ)
    9. A2. 付録6.計算式集の公式

卯酉線

ある地点における卯酉線は、その地点を通る経線に直交する線です。卯酉線や経線は、地球楕円体を平面によって切断した断面の外周です。切断面の外周は切り線(截線)と呼ぶようです。

切り線が直交するというのは、経線が作る平面と、切断する平面のなす角が90°だと言うことです。

2.地球儀と楕円体の描画

3.3Dの直線と平面

1. 楕円体の切断面

地点Aの緯度経度(φ、λ)は、赤道面をXY平面としたXYZ直交座標で、

長半径が1、短半径がb の地球楕円体で、地点Aの鉛直線は(0,0,q)を通ります。

卯酉線は垂直截線で、地球楕円体の表面と、平面の交線です。楕円体は、

        

平面は、、(0,0,q) を含み、経度λの経線の作る平面に直交しています。

経度λの経線の作る平面も 、(0,0,q) を含み、さらに原点を含みます。この3点で決まる平面は、

        

法線ベクトルは  で、直交するベクトル (L,M,N) は、

  

を満たすので、  を取ります。

        

に、 、(0,0,q) を代入して、c、O を決めると、平面の式は、

 と置いて、

        

平面の式をzについて解くと、

        

楕円体の式に代入すると、

        

 を両辺に乗じて、展開して整理すると、

これは楕円を含む2次曲線(円錐曲線)の一般形です。

楕円の標準形を導いて、一周分のx,y座標を算出し、それを平面の式に代入して z を求めれば卯酉線が引けます。

楕円の標準形は、「5.楕円の標準形」によるものです。

  1. b <- 0.6 # 赤道半径1、極半径bの準拠楕円体
  2. φ <- pi/6; λ <- pi/4 # 地点A 緯度30°、経度45°
  3. β <- atan(b*tan(φ))  # 地点Aの更成緯度
  4. Ax <- cos(β)*cos(λ); Ay <- cos(β)*sin(λ); Az <- b*sin(β)
  5. q <- b*sin(β)-cos(β)*tan(φ) # 垂線の切片
  6. DrawEarthEllipsoid(b=b,drawspheroid=FALSE,alpha=0.5)
  7. spheres3d(Ax,Ay,Az,radius=0.05,col="red") # 地点A
  8. DrawLine2p(c(0,0,q),c(Ax,Ay,Az)) # 垂線
  9. LongitudeLine(λ,b) # 経度λの経線
  10. R <- (Ay^2+Ax^2)/(q-Az)
  11. # 卯酉線の赤道面への投影図形の式の係数
  12. A <- Ax^2+b^2*R^2; B <- 2*Ax*Ay
  13. C <- Ay^2+b^2*R^2
  14. D <- -2*Ax*q*R; E <- -2*Ay*q*R
  15. F <- q^2*R^2-b^2*R^2
  16. u <- StandardForm(A,B,C,D,E,F) # 標準形の諸元
  17. t <- seq(0,2*pi,length.out=361)
  18. x <- u$a*cos(t); y <- u$b*sin(t) # 標準形の周
  19. g <- u$vectors %*% rbind(x,y) # 回転
  20. x2 <- g[1,]+u$cx; y2 <- g[2,]+u$cy # 平行移動
  21. z <- -(Ax*x2+Ay*y2-R*q)/R # x,yからz算出
  22. lines3d(x2,y2,z,lwd=1,col="blue") # 截線描画

赤道半径1、極半径 b=0.6 の扁平な準拠楕円体を考えます。緯度30°、経度45°のA地点は、XYZ直交座標では (Ax、Ay、Az) と計算されます。この値から、卯酉線のXY平面への投影図形に当たる楕円の一般形の係数A、B、C、D、E、F を計算します。

後述する標準形の諸元を求める関数は、係数から、楕円の半径a、b、回転行列、平行移動量を返します。

これによって、XY平面上の楕円を描き、そのx、y座標を平面の式に代入して、高さに当たるzを計算します。


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