１．地球楕円体上の点

地球楕円体上の点

地表の位置は緯度、経度で示されます。地表はデコボコしているので高さも必要です。地球楕円体上の点を楕円体高ゼロで考えます。

常用されている緯度は地理的緯度φです。これは観測点で「おもり」を垂らした垂線と赤道面のなす角です。地球を回転楕円体と見なすので地表の観測点の垂線は地心を通りません。

経度をλとして、(φ、λ) から点A (x,y,z) を計算することを考えます。

1. 緯度

地理的緯度をφ、地心緯度をθ とすると両者は図のような関係です。

図は地球楕円体を極軸を含む平面で切断した断面です。また、点Aを通る経線です。地球楕円体は球が極軸を軸に回転して膨らんだ回転楕円体なので赤道は真円です。したがって、どの経度の経線も同じ楕円を描きます。z座標は緯度φで決まり、経度λに依存しません。

断面をＸＺ平面と見なして考えます。赤道半径に当たる長半径aは常にa=1で計算します。

b <- 0.6
t <- seq(0,2*pi,length.out=360)
x <- cos(t)
y <- b*sin(t)
plot(x,y,t="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1))

楕円をRで描くには、上のようなスクリプトが簡便です。0から2πの角度tに対して、

点 $(cos(t),\ \ b\cdot{}sin(t))$

を、計算して結びます。

上の図で、中心角がβのとき、円周上の点 $P\left({cos\beta{},\ sin\beta{}}\right)$ です。点Pを通る垂線と、楕円の交点Aは、 $A\left({cos\beta{},\ \ b\cdot{}sin\beta{}}\right)$ です。

楕円は、 ${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ です。したがって、図の範囲では、 $y=b\sqrt{(1-{x}^{2})}$ です。

$x=cos\beta{}$ とき、

$y=b\sqrt{(1-{cos}^{2}\beta{})}=b\sqrt{{sin}^{2}\beta{}}=\pm{}$ $\ b\cdot{}sin\beta{}$

(1)

です。

この作図は、角度βに対して、点Aを描いています。この媒介変数βは、更成緯度です。

更成緯度βと、地理的緯度φの関係を考えます。

長半径が1の楕円の点 $\left({{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ における接線は、 ${x}_{0}x+\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}=1$ です。

$y={b}^{2}\frac{1-{x}_{0}x}{{{y}_{0}}_{\ }}=\frac{-{b}^{2}{x}_{0}}{{{y}_{0}}_{\ }}x+\frac{{b}^{2}}{{{y}_{0}}_{\ }}$

なので、接線の傾きは $\frac{-{b}^{2}{x}_{0}}{{{y}_{0}}_{\ }}$ です。したがって、これに直交する法線の傾きは、 $\frac{{y}_{0}}{{b}^{2}{x}_{0}}$ です。法線の傾きは $tan\varphi{}$ なので、 $A\left({cos\beta{},\ \ b\cdot{}sin\beta{}}\right)$ において、