４．卯酉線

卯酉線

ある地点における卯酉線は、その地点を通る経線に直交する線です。卯酉線や経線は、地球楕円体を平面によって切断した断面の外周です。切断面の外周は切り線（截線）と呼ぶようです。

切り線が直交するというのは、経線が作る平面と、切断する平面のなす角が90°だと言うことです。

1. 楕円体の切断面

地点Aの緯度経度(φ、λ)は、赤道面をXY平面としたXYZ直交座標で、

$\beta{}=atan(b\bullet{}tan\varphi{})$

$({A}_{x}\ \ \ {A}_{y}\ \ \ {A}_{z})=(cos\beta{}\bullet{}cos\lambda{},\ cos\beta{}\bullet{}sin\lambda{},\ b\bullet{}sin\beta{})$

長半径が1、短半径がb の地球楕円体で、地点Aの鉛直線は(0,0,q)を通ります。

$q=b\bullet{}sin\beta{}-cos\beta{}\bullet{}tan\varphi{}$

卯酉線は垂直截線で、地球楕円体の表面と、平面の交線です。楕円体は、

${x}^{2}+{y}^{2}+\frac{{z}^{2}}{{b}^{2}}=1$

平面は、 $({A}_{x}\ \ \ {A}_{y}\ \ \ {A}_{z})$ 、(0,0,q) を含み、経度λの経線の作る平面に直交しています。

経度λの経線の作る平面も $({A}_{x}\ \ \ {A}_{y}\ \ \ {A}_{z})$ 、(0,0,q) を含み、さらに原点を含みます。この３点で決まる平面は、

${A}_{y}q-{A}_{x}q=0$

法線ベクトルは ${(A}_{y\ \ },\ -{A}_{x\ \ },\ 0)$ で、直交するベクトル (L,M,N) は、

${A}_{y}L-{A}_{x}M+0\cdot{}N=0$

を満たすので、 ${(A}_{x\ \ },\ {A}_{y}\ \ ,\ c)$ を取ります。

${A}_{x}x+{A}_{y}y+cz+O=0$

に、 $({A}_{x}\ \ \ {A}_{y}\ \ \ {A}_{z})$ 、(0,0,q) を代入して、c、O を決めると、平面の式は、

${A}_{x}x+{A}_{y}y+\frac{{{A}_{x}}^{2}+{{A}_{y}}^{2}}{q-{A}_{z}}z-\frac{{{A}_{x}}^{2}+{{A}_{y}}^{2}}{q-{A}_{z}}q=0$

$R=({{A}_{x}}^{2}+{{A}_{y}}^{2})/(q-{A}_{z})$ と置いて、

${A}_{x}\cdot{}x+{A}_{y}\cdot{}y+R\cdot{}z-R\cdot{}q=0$

平面の式をzについて解くと、

$z=(Rq-{A}_{x}\cdot{}x-{A}_{y}\cdot{}y)/R$

楕円体の式に代入すると、

${x}^{2}+{y}^{2}+\frac{{({Rq-x}_{A}\cdot{}x-{y}_{A}\cdot{}y)}^{2}}{{b}^{2}{R}^{2}}=1$

${b}^{2}{R}^{2}$ を両辺に乗じて、展開して整理すると、

$({{A}_{x}}^{2}+{b}^{2}{R}^{2}){x}^{2}+2{A}_{x}{A}_{y}\cdot{}xy+({{A}_{y}}^{2}+{b}^{2}{R}^{2}){y}^{2}-2{A}_{x}qR\cdot{}x-2{A}_{y}qR\cdot{}y+{q}^{2}{R}^{2}-{b}^{2}{R}^{2}=0$

これは楕円を含む2次曲線（円錐曲線）の一般形です。

楕円の標準形を導いて、一周分のｘ，ｙ座標を算出し、それを平面の式に代入して z を求めれば卯酉線が引けます。

楕円の標準形は、「５．楕円の標準形」によるものです。

b <- 0.6 # 赤道半径1、極半径bの準拠楕円体
φ <- pi/6; λ <- pi/4 # 地点A 緯度30°、経度45°
β <- atan(b*tan(φ)) # 地点Aの更成緯度
Ax <- cos(β)*cos(λ); Ay <- cos(β)*sin(λ); Az <- b*sin(β)
q <- b*sin(β)-cos(β)*tan(φ) # 垂線の切片
DrawEarthEllipsoid(b=b,drawspheroid=FALSE,alpha=0.5)
spheres3d(Ax,Ay,Az,radius=0.05,col="red") # 地点A
DrawLine2p(c(0,0,q),c(Ax,Ay,Az)) # 垂線
LongitudeLine(λ,b) # 経度λの経線
R <- (Ay^2+Ax^2)/(q-Az)
# 卯酉線の赤道面への投影図形の式の係数
A <- Ax^2+b^2*R^2; B <- 2*Ax*Ay
C <- Ay^2+b^2*R^2
D <- -2*Ax*q*R; E <- -2*Ay*q*R
F <- q^2*R^2-b^2*R^2
u <- StandardForm(A,B,C,D,E,F) # 標準形の諸元
t <- seq(0,2*pi,length.out=361)
x <- u$a*cos(t); y <- u$b*sin(t) # 標準形の周
g <- u$vectors %*% rbind(x,y) # 回転
x2 <- g[1,]+u$cx; y2 <- g[2,]+u$cy # 平行移動
z <- -(Ax*x2+Ay*y2-R*q)/R # x,yからz算出
lines3d(x2,y2,z,lwd=1,col="blue") # 截線描画

赤道半径1、極半径 b=0.6 の扁平な準拠楕円体を考えます。緯度30°、経度45°のA地点は、XYZ直交座標では (Ax、Ay、Az) と計算されます。この値から、卯酉線のXY平面への投影図形に当たる楕円の一般形の係数A、B、C、D、E、F を計算します。

後述する標準形の諸元を求める関数は、係数から、楕円の半径a、b、回転行列、平行移動量を返します。

これによって、XY平面上の楕円を描き、そのx、y座標を平面の式に代入して、高さに当たるzを計算します。