mikeo_410
  1. 2.地球
    1. 1.地球楕円体上の点
    2. 2.地球儀と楕円体の描画
    3. 3.3Dの直線と平面
    4. 4.卯酉線
    5. 5.楕円の標準形
    6. 6.5点で決まる楕円
    7. 7.曲率半径と平均曲率
    8. A1.地図、地球儀(Rスクリプト、データ)
    9. A2. 付録6.計算式集の公式

付録6.計算式集の公式

測量法第34条で定める作業規程の準則を国土地理院が定めており、その「付録 6 計算式集」が参照できます。

「付録 6 計算式集」の冒頭は、「楕円体の原子」、「楕円体の諸公式」となっています。この公式を検算に使いたいと思います。

まず、地球と見なす準拠楕円体は、GRS80と同じ、赤道半径 a と扁平率 f で定義されます。

長半径  m 、扁平率  

準拠楕円体は、回転楕円体なので、赤道は半径 a の真円です。極半径 b は、扁平率 f

によって、

        

扁平率が分数で与えられるので、計算上、その逆数の、

        

を使用して、

        

離心率 e で表すと、

        

第2離心率 e' は、

        

扁平率 f は、

        

地球は地軸を軸に回転して赤道が膨らんだ回転楕円体なので、準拠楕円体の赤道は真円です。経線は全て同じ形の楕円です。極では、どの方位でも同じ曲率になります。

極における曲率半径 c は、

        

ある緯度 φ における平均曲率 R は、その地点を通る経線の曲率半径 M と、経線に直交する卯酉線の曲率半径 N の2つの値の幾何平均のことのようです。

緯度 φ における経線の曲率半径(子午線曲率半径)

        

緯度 φ における卯酉線の曲率半径(卯酉線曲率半径)

        

緯度 φ における平均曲率半径

        

ここで、

        

        

  1. > options(digits=16)
  2. > # 楕円体の原子
  3. > a <- 6378137        # 長半径(赤道半径)
  4. > f = 1/298.257222101 # 扁平率
  5. > # 諸元
  6. > F <- 298.257222101    # 逆扁平率
  7. > (e <- sqrt(2*F-1)/F)      # 第1離心率
  8. [1] 0.08181919104281578
  9. > (ed <- sqrt(2*F-1)/(F-1)) # 第2離心率
  10. [1] 0.08209443815191719
  11. > (b <- a*(1 - f))      # 短半径(極半径)
  12. [1] 6356752.314140356
  13. > (c <- a/(1-f))        # 極での曲率半径
  14. [1] 6399593.625864023
  15. > # 緯度36度の曲率半径
  16. > φ <- 36/180*pi
  17. > W <- sqrt(1-e^2*sin(φ)^2)
  18. > V <- sqrt(1+ed^2*cos(φ)^2)
  19. > (M <- a*(1-e^2)/W^3)  # 子午線曲率半径
  20. [1] 6357482.43754967
  21. > (M <- c/V^3)
  22. [1] 6357482.437549669
  23. > (N <- a/W)            # 卯酉線曲率半径
  24. [1] 6385525.660720105
  25. > (N <- c/V)
  26. [1] 6385525.660720105
  27. > (R <- sqrt(M*N))      # 平均曲率半径
  28. [1] 6371488.620609066
  29. > b/W^2
  30. [1] 6371488.620609066
  31. > c/V^2
  32. [1] 6371488.620609066


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