６．5点で決まる楕円

5点で決まる楕円

楕円の式は、

$A{x}^{2}+Bxy+C{y}^{2}+Dx+Ey+F=0$

ただし、 ${{B}^{2}-4AC\leq{}0}^{\ }$

のように、2次曲線の式で表されます。

この式の係数は6つですが、楕円の周上の5点の座標値から、楕円の式の係数を決定できます。

式に任意の定数を乗じても同じ楕円を描くので、同じ楕円を描く式は無数にあります。したがって、定数項 F は任意の値で良く、例えば、F=-1 として他の5つの係数を求めて良いということです。

$A{x}^{2}+Bxy+C{y}^{2}+Dx+Ey=1$

に、5点の座標値を代入して5つの式を作成し連立方程式を解きます。

上の図は、x軸半径 4、y軸半径 2 の楕円です。式では、

$\frac{{x}^{2}}{{4}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{2}^{2}}=1$

あるいは、64を乗じて、

$4{x}^{2}+16{y}^{2}-64=0$

などと表されます。

上のスクリプトでは、楕円は媒介変数 t を1° 刻みに採って、0°、90°、180°、270° の4点と、60°の点を合わせて5点に赤丸を描いています。

この5点の座標値から、楕円の式を求めると以下のようになります。

$0.0625{{x}^{2}+0.25{y}^{2}-1=0}^{\ }$

なので、64を乗じれば、上述の、

$4{x}^{2}+16{y}^{2}-64=0$

となります。

この楕円を30°反時計回りに回転し、x軸方向に √3 、y軸方向に 2 平行移動します。

5点の座標値は、以下のような値です。

元の楕円の周上の点を(x, y)、回転、平行移動した楕円の周上の点を (x’, y’) とすると、

$cos\frac{\pi{}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ ,\ \ sin\frac{\pi{}}{6}=\frac{1}{2}$

なので、

$x'=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+\sqrt{3}$

$y'=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+2$

mxima で連立方程式を作って解くと以下のようになります。

5点を通る楕円は、

$\frac{7}{27}{x}^{2}-\frac{2}{3\sqrt{3}}xy+\frac{13}{27}{y}^{2}-\frac{2}{9\sqrt{3}}x-\frac{34}{27}y=1$

となります。あるいは、27を乗じた、

$7{x}^{2}-6\sqrt{3}xy+13{y}^{2}-2\sqrt{3}x-34y-27=0$

と表せます。